Filtración (álgebra abstracta)

En matemáticas, una filtración ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es un conjunto indexado S_i de subestructuras de una estructura algebraica S, recorriendo el subíndice i cierto conjunto I (el conjunto I debe ser un conjunto totalmente ordenado) y cumpliendo la condición:

${\displaystyle \forall i,j\in I:i\leq j\Rightarrow S_{i}\subseteq S_{j}}$

Si el índice i es el parámetro tiempo de un proceso estocástico, entonces la filtración puede interpretarse como una representación de todo el histórico de información hasta un instante dado, y nunca incluirá información que sólo estará disponible en el futuro. Así el objeto S_i irá haciéndose más informativo y complejo a medida que i crece. Definido eso, un proceso se dice adaptado a la filtración ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, si es un proceso no anticipatorio, es decir, "no puede prever el futuro".^[1]​

A veces, como en una álgebra filtrada, se impone el requerimiento de que las ${\displaystyle S_{i}}$ sean subálgebras con respecto a algunas operaciones determinadas (como por ejemplo, la suma vectorial), pero no necesariamente con respecto a otras. A veces, se asume que las filtraciones satisfarán requerimientos adicionales como que la unión de todas las ${\displaystyle S_{i}}$ debe ser el conjunto ${\displaystyle S}$ completo, o el que homomorfismo canónico del límite directo de las ${\displaystyle S_{i}}$ en ${\displaystyle S}$ sea de hecho isomorfismo.

Ejemplos

Álgebra

Grupos

En álgebra, las filtraciones usualmente se indexan mediante ${\displaystyle \mathbb {N} }$, el conjunto de los números naturales. Una filtración de un grupo G, es entonces una sucesión anidada G_n de subgrupos normales de G (es decir, para cualquier n se tiene G_{n 1} ⊆ G_n). Nótese que este uso del término "filtración" se corresponde con la noción de "filtración descendente".

Dado un grupo G y una filtración G_n, existe una manera natural de definir una topología sobre G, "asociada" a dicha filtración. Una base para esta topología sería el conjunto de todas las traslaciones de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un conjunto de G se define como abierto si es la unión de conjuntos de la forma aG_n, donde a∈G y n es un número natural.

La topología asociada a una filtración sobre un grupo G hace de G un grupo topológico. La topología asociada a una filtración G_n sobre un grupo G es Hausdorff si y solo si ∩G_n = {1}.

Referencias

Bibliografía

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.